跳表SkipList

聊一聊作者的其人其事

跳表是由William Pugh发明。他在 Communications of the ACM June 1990, 33(6) 668-676 发表了Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees，在该论文中详细解释了跳表的数据结构和插入删除操作。

William Pugh同时还是FindBug（没有使用过，这是一款java的静态代码分析工具，直接对java 的字节码进行分析，能够找出java字节码中潜在很多错误。）作者之一。现在是University of Maryland, College Park（马里兰大学伯克分校，位于马里兰州，全美大学排名在五六十名左右的样子）大学的一名教授。他和他的学生所作的研究深入的影响了java语言中内存池实现。

又是一个计算机的天才！

言归正传，跳表简介

这是跳表的作者，上面介绍的William Pugh给出的解释：

Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees. Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.

跳表是平衡树的一种替代的数据结构，但是和红黑树不相同的是，跳表对于树的平衡的实现是基于一种随机化的算法的，这样也就是说跳表的插入和删除的工作是比较简单的。

下面来研究一下跳表的核心思想：

先从链表开始，如果是一个简单的链表，那么我们知道在链表中查找一个元素I的话，需要将整个链表遍历一次。

如果是说链表是排序的，并且节点中还存储了指向前面第二个节点的指针的话，那么在查找一个节点时，仅仅需要遍历N/2个节点即可。

这基本上就是跳表的核心思想，其实也是一种通过“空间来换取时间”的一个算法，通过在每个节点中增加了向前的指针，从而提升查找的效率。

跳表的数据存储模型

我们定义：

如果一个基点存在k个向前的指针的话，那么陈该节点是k层的节点。

一个跳表的层MaxLevel义为跳表中所有节点中最大的层数。

下面给出一个完整的跳表的图示：

那么我们该如何将该数据结构使用二进制存储呢？通过上面的跳表的很容易设计这样的数据结构：

定义每个节点类型：

// 这里仅仅是一个指针
typedef struct nodeStructure *node;
typedef struct nodeStructure

{
    keyType key;	// key值
    valueType value;	// value值
    // 向前指针数组，根据该节点层数的
    // 不同指向不同大小的数组
    node forward[1];	
};

上面的每个结构体对应着图中的每个节点，如果一个节点是一层的节点的话（如7，12等节点），那么对应的forward将指向一个只含一个元素的数组，以此类推。

定义跳表数据类型：

// 定义跳表数据类型
typedef struct listStructure{
   int level; 	  /* Maximum level of the list 
			(1 more than the number of levels in the list) */
   struct nodeStructure * header; /* pointer to header */
   } * list;

跳表数据类型中包含了维护跳表的必要信息，level表明跳表的层数，header如下所示：

定义辅助变量：

定义上图中的NIL变量：node NIL;

1 2	#define MaxNumberOfLevels 16 #define MaxLevel (MaxNumberOfLevels-1)

定义辅助方法：

1 2	// newNodeOfLevel生成一个nodeStructure结构体，同时生成l个node 数组指针 #define newNodeOfLevel(l) (node)malloc(sizeof(struct nodeStructure)+(l)sizeof(node *))

好的基本的数据结构定义已经完成，接下来来分析对于跳表的一个操作。

跳表的代码实现分析

初始化

初始化的过程很简单，仅仅是生成下图中红线区域内的部分，也就是跳表的基础结构：

list newList()
{
  list l;
  int i;
  // 申请list类型大小的内存
  l = (list)malloc(sizeof(struct listStructure));
  // 设置跳表的层level，初始的层为0层（数组从0开始）
  l->level = 0;
  
  // 生成header部分
  l->header = newNodeOfLevel(MaxNumberOfLevels);
  // 将header的forward数组清空
  for(i=0;i<MaxNumberOfLevels;i++) l->header->forward[i] = NIL;
  return(l);
};

插入操作

由于跳表数据结构整体上是有序的，所以在插入时，需要首先查找到合适的位置，然后就是修改指针（和链表中操作类似），然后更新跳表的level变量。

boolean insert(l,key,value) 
	register list l;
	register keyType key;
	register valueType value;
{
  register int k;
  // 使用了update数组
  node update[MaxNumberOfLevels];
  register node p,q;
  p = l->header;
  k = l->level;
  /*******************1步*********************/
  do {
		// 查找插入位置
		while (q = p->forward[k], q->key < key)
			p = q;
		
		// 设置update数组
		update[k] = p;
	} while(--k>=0);	// 对于每一层进行遍历
	
	// 这里已经查找到了合适的位置，并且update数组已经
	// 填充好了元素
   if (q->key == key)
   {
     q->value = value;
     return(false);
   };
	
   // 随机生成一个层数
   k = randomLevel();  
  if (k>l->level) 
  {
  	// 如果新生成的层数比跳表的层数大的话
    // 增加整个跳表的层数
	k = ++l->level;
	// 在update数组中将新添加的层指向l->header
	update[k] = l->header;
  };
		
  /*******************2步*********************/
  // 生成层数个节点数目
  q = newNodeOfLevel(k);
  q->key = key;
  q->value = value;
      
  // 更新两个指针域
  do 
  {
		p = update[k];
		q->forward[k] = p->forward[k];
		p->forward[k] = q;
	} while(--k>=0);
	
	// 如果程序运行到这里，程序已经插入了该节点
  return(true);
}

删除某个节点

和插入是相同的，首先查找需要删除的节点，如果找到了该节点的话，那么只需要更新指针域，如果跳表的level需要更新的话，进行更新。

boolean delete(l,key) 
register list l;
register keyType key;
{
  register int k,m;
  // 生成一个辅助数组update
  node update[MaxNumberOfLevels];
  register node p,q;
  p = l->header;
  k = m = l->level;
  // 这里和查找部分类似，最终update中包含的是：
  // 指向该节点对应层的前驱节点
  do 
  {
		while (q = p->forward[k], q->key < key) 
			p = q;
			update[k] = p;
	} while(--k>=0);
	// 如果找到了该节点，才进行删除的动作
  if (q->key == key) 
  {
  	// 指针运算
		for(k=0; k<=m && (p=update[k])->forward[k] == q; k++) 
			// 这里可能修改l->header->forward数组的值的 
		  p->forward[k] = q->forward[k];
		// 释放实际内存
		free(q);
		
		// 如果删除的是最大层的节点，那么需要重新维护跳表的
		// 层数level
   	while( l->header->forward[m] == NIL && m > 0 )
	     m--;
		l->level = m;
		return(true);
	}
  else
  	// 没有找到该节点，不进行删除动作 
  	return(false);
}